CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS

Fecha: 21/03/2017

Disciplina: Matematica
II Unidad: Conjunto de los numeros enteros.
Contenido: Concepto de numeros enteros.
                  Numeros opuestos.
                  La recta numerica.

NUMEROS ENTEROS

Anota las siguientes preguntas en tu cuaderno y despues de anotarlas observa y analiza el vídeo para darles respuestas.

    1.      ¿Para qué sirven los números enteros?

    2.      ¿De ejemplos del uso de números enteros?

    3.      ¿A qué temperatura se congela el agua y a que temperatura se derrite?

    4.      ¿En qué lugar se encuentra el cero en la recta numérica?       

5  5.      ¿Cuál es el punto de partida para la altitud cero?

    6.      ¿Qué acontecimiento marca el año cero de la era Cristiana?

    7.      ¿Qué signo usamos para las cantidades menores que cero?

    8.      ¿Qué signo usamos para representar que una cantidad es menor que otra?

      9. En un pueblo de España la temperatura actual es de -1 grado y en Somotillo es de 35 grados, diga donde hace mas frió y explique ¿por qué? ¿Qué relación tiene este ejemplo con los números enteros?

1 10.  ¿Cuando el minuendo es menor que el sustraendo cual es el signo del resultado que obtenemos en una operación?

Observa el siguiente vídeo donde se explica de manera clara que es un numero por atención para que luego realices las siguientes actividades de manera correcta.

Los números enteros incluyen tanto los números naturales que ya conocemos (0, 1, 2, 3,….), como los números negativos (-1, -2, -3…)

	Un número que no tiene parte fraccionaria. Incluye los números positivos {1, 2, 3, ...}, cero {0}, y los números negativos {-1, -2, -3, ...} Se los puede escribir así: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Ejemplos de enteros: -16, -3, 0, 1, 198

Números naturales y enteros

Números naturales

Los números naturales son simplemente 0, 1, 2, 3, 4, 5, … (y así sigue) aunque según a quien preguntes, el cero es o no un número natural, así que te pueden decir que los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5, …

¡Pero nada de fracciones!

Números de contar

Los números de contar son los números naturales, normalmente sin el cero. Porque no se puede "contar" cero. Así que son 1, 2, 3, 4, 5, … (y eso).

Enteros

Los enteros son como los naturales, pero se incluyen los números negativos ... ¡también sin fracciones!

Así que un entero puede ser negativo (-1, -2,-3, -4, -5, … ), positivo (1, 2, 3, 4, 5, … ), o cero (0)

Confuso

Más o menos todo el mundo está de acuerdo en que los números naturales no incluyen a los negativos, si no serían como los enteros. Pero hay gente que dice que el cero NO es natural, y hay otra gente que dice que sí. ¡Ya ves que no todos están de acuerdo en algo tan fácil!

Mi definición

Aunque a veces se me escapan cosas como "natural negativo", normalmente esto es lo que uso:

Números	Nombre
0, 1, 2, 3, 4, 5, …	Naturales
1, 2, 3, 4, 5, …	Números de contar
... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …	Enteros

Como nadie está en desacuerdo con la definición de entero, cuando tengas dudas di "entero", y si sólo quieres los enteros positivos di "enteros positivos". Así no te equivocas, y además pareces inteligente.

Línea de números

Escribir números en una línea de números hace fácil decir
qué números con mayores o menores.

La línea de números

Números negativos (-)	Números positivos (+)
(La línea sigue para siempre a derecha e izquierda.)

Los números a la derecha son mayores que los números a la izquierda: 8 es mayor que 5 1 es mayor que -1 Pero fíjate en que -8 es menor que -5

Un ejemplo
John debe $3, Virginia debe $5 pero Alex no debe nada, además tiene $3 en el bolsillo. Pon a esta gente en la línea de números para ver quién es más rico y quién es más pobre.

Tener dinero en el bolsillo es positivo. Pero deber dinero es negativo. Así que John tiene "-3", Virginia "-5" y Alex "+3"
Ahora es fácil ver que Virginia es más pobre que John (-5 es menor que -3) y John es más pobre que Alex (-3 es menor que 3), ¡y Alex es, cómo no, el más rico!

Opuesto de un numero:

El valor opuesto de un número entero es el mismo número pero con el signo cambiado: El opuesto de -3 es 3 El opuesto de 5 es -5           El opuesto de 4 es -4           El opuesto de -7 es 7 Observa que en cada uno de los ejemplos unicamente cambiamos los signos de los numeros para encontrar su opuesto  En el siguiente ejemplo puedes observar en la recta numerica el opuesto de seis que es el numero que esta en azul. Obseva que el opuesto de seis es -6 ya que se encuentra a igual distancia del cero pero en sentido contrario, de igual manera el opuesto de -6 es 6. Conteste tomando en cuenta lo aprendido: ¿Que es un numero entero? ¿Cual es la diferencia entre un numero entero y un numero natural? De 8 ejemplos de números enteros: De 5 ejemplos de números naturales: Dibuje la recta numérica. De el opuesto de los siguientes números: 8, -9, 6, -3, 4, -10, 11, 12, -15, -20, 25, 50, -40, -38, 17 Tomado de: http://www.aulafacil.com/Matematicas_2ESO/Curso/Lecc-2.htm                    http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/linea-numeros.html

Media aritmetica, mediana y moda para datos no agrupados.

 Profesor: Oscar Ramirez
I Unidad: Estadistica.
Contenido: Media aritmetica, mediana y moda para datos no agrupados. 


Media aritmetica y mediana.
 Calculo de la media aritmetica.

Para calcular la media aritmética, sumamos todos los datos y dividimos entre el número de datos.

 Calculo de la mediana.

Para calculara la mediana, se ordenan los datos y se encuentra el punto medio de éstos (la posición (n+1)/2). Si la media y la mediana coinciden, la distribución es simétrica. Si la media es mayor que la mediana, la distribución es asimétrica positiva; si la mediana es mayor, la distribución es asimétrica negativa.

EJEMPLO A:  Calcular la media y la mediana de los siguientes datos: 8, 11, 13, 9, 14, 15, 7.

Solución: La media = (8+11+13+9+14+15+7)/7 = 11.

Para calcular la mediana, se ordenan los datos primero: 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15. El punto medio se encuentra en la posición (7+1)/2 = 4; es decir, la cuarta posición. Por lo tanto, la mediana = 11.

Como la media = la mediana, esta distribución es simétrica.

EJEMPLO B:  Calcular la media y la mediana de los siguientes datos: 8, 5, 4, 5, 9, 3, 11, 6.

Solución: la media = (8+5+4+5+9+3+11+6)/8 = 6.375.

Para calcular la mediana, ordenamos primero: 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 11. El punto medio se encuentra en la posición (8+1)/2 = 4.5; es decir, es el promedio de las posiciones #4 y #5, o sea el promedio de 5 y 6. Por lo tanto, la mediana = 5.5.

Como la media > mediana, la distribución es asimétrica positiva.

Realice en sus cuadernos los siguientes ejercicios.

EJERCICIOS: Calcular la media, la mediana y comentar la simetría para los siguientes grupos de datos.

1) 9, 1, 18, 6, 14, 2, 4

2) 12, 14, 17, 13, 15, 8, 1, 14

3) 0, 5, 16, 14, 11, 19, 17, 17, 15

4) 12, 18, 1, 0, 1, 6, 15, 6, 13, 17

Tomado de: http://www.amschool.edu.sv/paes/e1.htm

 

 Rie un poco jajaja...

La moda.

La moda es la medida que se relaciona con la frecuencia con que se presenta el dato o los datos  con mayor incidencia, con lo que se considera la posibilidad de que exista más de una moda para un conjunto de datos. La notación mas frecuente es la siguiente: Mo y . Esta medida se puede aparecer tanto para datos cualitativos como cuantitativos.  Se dice que cuando un conjunto de datos tiene una moda la muestra es unimodal,  cuando tiene dos modas bimodal, cuando  la muestra contiene mas de un dato repetido se dice que es multimodal y un último caso es cuando ningún dato tiene una frecuencia, en dicho caso se dice que la muestra es amodal.

Ejemplos:

1.- Determinar  la moda del siguiente conjunto de datos:

a).- 1, 2, 3, 3, 4 , 5, 6, 7, 7, 3, 1, 9, 3

la moda de este conjunto de datos es igual a 3 y si considera unimodal

b).- 1, 2, 3, 4, 4, 5, 2, 1, 3, 4, 2, -3, 4, 6, 3, 3

las  modas de este conjunto de datos son 3 y 4  ya que ambas tienen la mas alta frecuencia, -por lo que la muestra  es bimodal

c).- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

La muestra no contiene ningún dato repetido por lo que se considera que la muestra es amodal.

Gráficamente eso se puede reflejar mediante el análisis de un histograma de frecuencias.

Tomado de: http://dieumsnh.qfb.umich.mx/estadistica/moda.htm

Ejercicios a resolver.
Encuentre la media aritmetica mediana y moda en los siguientes datos:
1) 54, 64, 12, 10, 9, 17
2) 14, 12, 13, 25, 12, 14, 12, 18, 12
3) 5, 4, 3, 4, 1, 5, 3, 7, 6, 3
4) 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4

ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL

De acuerdo al video presentado realiza los siguientes ejercicios, si no entiendes a alguno de ellos pregunta a tu docente.
Trabaja en silencio con tus compañeros.

Ejercicio 1:

Ejercicio 2:

 Ejercicios 3:

REGLA DE TRES COMPUESTA EJERCICIOS PARA RESOLVER

Unidad: Proporcionalidad.

Contenido:

Regla de tres compuesta, directa e inversa.

Regla de tres compuesta

La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.

Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente.

Resuelve los siguientes problemas tomando como ejemplo los problemas que ha explicado el profesor, recuerda resolver en silencio.

1. Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 córdobas  Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.

2. 5 obreros trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?

3. Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?


4. Un cuartel de 400 soldados tienen provisiones para 10 días repartiendo 3 raciones diarias a cada soldado, si se reduce el aprovisionamiento a 2 raciones diarias.Cuanto tiempo duraran las provisiones?

5. Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?

6. 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

7.  Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS

FECHA: 22 DE ABRIL DE 2013

II UNIDAD:
NUMEROS ENTEROS
OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS. 


En pareja resuelve los siguientes ejercicios, copiarlos en limpio y entregarlos resuetos al profesor...

1 Ordenar, en sentido creciente, representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros:

8, −6, −5, 3, −2, 4, −4, 0, 7

2Representar gráficamente, y calcular los opuestos y valores absolutos de los siguientes números enteros:

−4, 6, −2, 1, −5, 0, 9

3Sacar factor común en las expresiones:

1 3 · 2 + 3 · (−5) =
2 (−2) · 12 + (−2) · (−6) =
3 8 · 5 + 8 = 8 · (5 + 1) =
4 (−3) · (−2) + (−3) · (−5) =

4 Realizar las siguientes operaciones con números enteros:

1 (3 − 8) + [5 − (−2)] =
2 5 − [6 − 2 − (1 − 8) − 3 + 6] + 5 =
3 9 : [6 : (− 2)] =
4 [(−2)⁵ − (−3)³]² =
5 (5 + 3 · 2 : 6 − 4 ) · (4 : 2 − 3 + 6) : (7 − 8 : 2 − 2)² =
6 [(17 − 15)³ + (7 − 12)²] : [(6 − 7) · (12 − 23)] =

5Realizar las siguientes operaciones con números enteros:

1(7 − 2 + 4) − (2 − 5) =
2 1 − (5 − 3 + 2) − [5 − (6 − 3 + 1) − 2]=
3 −12 · 3 + 18 : (−12 : 6 + 8) =

Respuestas en:  http://www.vitutor.com/di/e/e_e.html

Resuelve los siguientes problemas:

1 Augusto, emperador romano, nació en el año 63 a.C. y murió en el 14 d.C. ¿Cuántos años vivió?

2Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 28 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo?

3 ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC?
¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura?

4 La temperatura del aire baja según se asciende en la Atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. ¿A qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC?

5En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?

Respuestas en: http://www.vitutor.com/di/e/problemas_enteros.html

Seleciona y pega los enlaces en la barra de direcciones para ves respuestas.

Multiplicación de números entero

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

+ · + = +
− · − = +
+ · − = −
− · + = −

Ejemplo:

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2· (−5) = −10

(−2) · 5 = −10

Propiedades de la resta de números enteros

1 Interna

El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero.

Ejemplo:

2 Asociativa

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números enteros cualesquiera, se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · a)

Ejemplo:

(2 · 3) · (−5) = 2 · [(3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15)

−30 = −30

3 Conmutativa

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

Ejemplo:

2 · (−5) = (−5) · 2

−10 = −10

4 Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a · 1 = a

Ejemplo:

(−5) · 1 = (−5)

5 Distributiva

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

Ejemplo:

(−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2) · 8 = (−6) + (−10)

−16 = −16

6 Sacar factor común

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

Ejemplo:

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

Tipos de Graficos, PICTOGRAMAS Y HISTOGRAMAS

01 de marzo del 2017

 Unidad: Estadística
Grado: séptimo
Contenido: Gráficos de barras e histogramas.

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

Ø  Pictograma

Ø  Histograma  (Gráfico de  barras o de Columnas)

Ø  Ojiva

Ø   Pastel o Sectores

        

Un estudio estadístico se desarrolla normalmente en varias etapas:

·         Recogida de los datos.

·         Clasificación de los datos en una tabla.

·         Representación del conjunto o serie de datos en una gráfica o diagrama estadístico.

·         Caracterización de la serie de datos usando varios parámetros. (Éste se estudiará en Octavo grado)

Componentes de un gráfico.
Un gráfico, al igual que una tabla, está compuesto de las  siguientes partes:

·         Identificación del gráfico.

·         Título del gráfico.

·         Cuerpo del gráfico o gráfico propiamente dicho (incluye la clave o leyenda de ser necesaria esta).

·         Pie del gráfico.

Ø  Pictograma    

Actualmente, y mucho en los medios masivos de comunicación, se utilizan gráficos para ilustrar los datos o los resultados de alguna investigación. Regularmente se utilizan dibujos para representar dicha información, y el tamaño o el número de estos dibujos dentro de una gráfica queda determinado por la frecuencia correspondiente. A este tipo de gráfica se le llama pictograma y estos son dos ejemplos:

 

Ejercicio: represente a través de un  pictograma la cantidad de estudiantes según la edad y el número de estudiantes de su aula, ubique las edades de forma horizontal y el numero de estudiantes de forma vertical.

Ø  Histograma  y Gráfica de Columnas o de barras:

Para las distribuciones de frecuencias la representación gráfica más común es el histograma.

Recomendaciones:

En el eje horizontal (o de las abscisas) se representan los intervalos de los datos, marcándose de manera continua las fronteras entre cada uno. De esta manera, el histograma está compuesto rectángulos, cuyo número coincide con la cantidad de intervalos considerados, el ancho de la base de cada uno de esos rectángulos es la misma siempre y coincide con las fronteras de los intervalos, y la altura corresponde a la frecuencia de cada intervalo.

Nota: Un tipo de gráfico muy parecido al histograma es la gráfica de columnas o de barras. Para este tipo de gráfica, elaboradas con rectángulos también, se pide que sus bases sean del mismo ancho y sus alturas equivalentes con las frecuencias. Para este tipo, a diferencia del histograma, no es necesario tener una escala horizontal continua, por lo que los rectángulos (o barras) no tienen que aparecer juntas entre sí.

Otra observación pertinente es que se pueden representar en la misma gráfica, utilizando las mismas escalas horizontales y verticales, varios datos correspondientes a las mismas variables producto de varias observaciones

Ejemplos:

1)      Se les preguntó  a 120 estudiantes sobre el numero de horas que ven televisión y los resultados fueron los siguientes:

 

Nº de Horas	Frecuencia
0	15
1	3
2	7
3	19
4	27
5	26
6	23
Total	120

La gráfica de Barras es la siguiente:

Resultados de encuesta a estudiantes

 

1)      La  siguiente tabla muestra los salarios mensuales de 50 trabajadores de diferentes áreas de trabajo.

El histograma correspondiente es:

Salarios	Trabajadores
900 - 999	12
1000 - 1099	10
1100 - 1199	6
1200 - 1299	9
1300 - 1399	3
1400 - 1499	4
1500 - 1599	4
1600 - 1699	2
Total	50

 

Ejercicios:

1)      Tomando como referencia los ejemplos anteriores represente en un  histograma el ejemplo número 1 y en una gráfica de barras el ejemplo número 2.

2)      Explique la semejanza y la diferencia entre la gráfica de barras y el histograma.

3)       El salario de mayor frecuencia según el histograma es: __________

4)      Retomando datos que pueda recolectar, elabore  una tabla de frecuencia. Represente los datos en una gráfica de barras y en un histograma.