ADICIÓN, SUSTRACCIÓN. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

18/04/2017

II UNIDAD: Conjunto de números enteros.
CONTENIDO: Operaciones con números enteros.
                         Adición, sustracción, multiplicación y división.

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

I. Reglas de signos en la suma y resta.



1.    Cuando 2 números tengan el mismo signo se suman y se conserva el signo.

                 2.    Cuando 2 números tengan signos diferentes se restan y se conserva el signo del numero con  mayor valor absoluto.

Observa el siguiente vídeo donde se suman o restan dos números enteros.

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

OPERATORIA CON NÚMEROS ENTEROS

Observa el siguiente ejemplo sobre suma y resta

 de números enteros combinada la solución esta paso 

a paso.

 Ejemplos:

- 5 + 7 - 8 - 9 + 4 - 2 + 10 =

Resolvemos paso a paso tomando en cuenta las reglas para

 sumar y restar numeros enteros

rescordemos que - 5 + 7 = 2 de esto nos queda:

2 - 8 - 9 + 4 - 2 + 10 = 

recordemos que 2 - 8 = - 6 y nos queda:

- 6 - 9 + 4 - 2 + 10 =

Observa que - 6 - 9 = -15 tenemos:

- 15 + 4 - 2 + 10 =

Seguimos reduciendo -15 + 4 = - 11 y tenemos:

- 11 - 2 + 10 =

Seguimos simplificando la operacion -11 - 2 = - 13 y nos queda:

- 13 + 10  = - 3

al fin la respuesta de la operacion es -3 

 Ejercicios de practica:

Calcula:

1)     –5  -9  +7 =

2)   3 – 6 – 10 + 24 =

3)    7 – 15  +8  - 9 =

4)   –8 - 6 –5 + 4 =

5)   -10 + 5 –1 – 4 – 6 =

6)   -8 – 6  – 10 + 2 =

7)   12 – 14 – 9 – 15 + 6 =

8)   10 – 3 – 4 + 2 –1 + 1 =

9)   7 – 11 –8 + 6 – 10 – 7 – 2 + 1 –2 =

    10) -7 - 10 - 12 - 14 =
     11) -4 + 10 - 6 - 5 + 12 =
   12) - 8 + 9 + 10 - 12 - 14 =

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Ley de los signos para la multiplicación:


Ejemplos: 
1.      4 (5) = 20     Al multiplicar dos signos positivos el resultado                                 es positivo.
2.    - 3 (- 2) = 6    Al multiplicar dos signos negativos el resultado                                 es positivo.
3.   - 6 (3) = 18     Al multiplicar un signo negativo por un positivo                                 el resultado es negativo. 
4.      8 (- 8) = 64   Al multiplicar un signo positivo por un negativo                               el resultado es negativo.
Ley de los signos para la división:


Ejemplos:
1.    12/3 = 4     Al dividir dos signos positivos el resultado                                         es positivo.
2.  - 25/- 5 = 5  Al dividir dos signos negativos el resultado                                        es positivo.
3.    14/- 7 = 2   Al dividir un signo negativo entre un positivo                                     el resultado es negativo
4.   -36/ 6 = -6   Al dividir un signo positivo entre un negativo                                   el resultado es negativo.
Ejemplo:
Observa y analiza el siguiente ejemplo para que puedas completar la siguiente tabla.
Si:
 a = -2; 
b = 4
c = -4
 resolver - a - b + c
Solución: Sustituimos los valores de a, b y c en la ecuación y tendríamos: - (-2) -(4) + (-4) =
Observa que los números conservan sus signos y utilizamos paréntesis para diferenciarlos con los signos de la ecuación.
Luego aplicamos la ley de los signos y tendríamos:
2 - 4 - 4 =
Simplificamos:
-2 - 4 = - 6
La respuesta es - 6
 Completa la tabla:

a	b	c	- a - b + c	a/b	-(a)(c) + b	a + b - c
-20	5	-3
36	-9	-2
-81	-9	-1
45	9	-10
-8	4	6

Lee detenidamente los siguientes problemas y resuelva aplicando el conjunto de los números enteros.

1. Doña Juana hizo 50 tortillas de las que obtuvo 50 córdobas, para la elaboración de estas ella compro, 20 córdobas de leña, 5 libras de maíz a 5 córdobas la libra y pago 20 córdobas en el molino para quebrar el maíz, conteste:
Cuanto obtuvo de ganancia o de cuanto fue la perdida de doña Juana?
Si ella no ha obtenido ganancia que recomendación le darías?

2.  Augusto, emperador romano, nació en el año 63 a.C. y murió en el 14 d.C. ¿Cuántos años vivió?

3. Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 28 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo?

4. ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC?
¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura?

5. La temperatura del aire baja según se asciende en la Atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. ¿A qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC?

6. En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte inferior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento?

Algunas actividades tomadas de: http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm

 

CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS

Fecha: 21/03/2017

Disciplina: Matematica
II Unidad: Conjunto de los numeros enteros.
Contenido: Concepto de numeros enteros.
                  Numeros opuestos.
                  La recta numerica.

NUMEROS ENTEROS

Anota las siguientes preguntas en tu cuaderno y despues de anotarlas observa y analiza el vídeo para darles respuestas.

    1.      ¿Para qué sirven los números enteros?

    2.      ¿De ejemplos del uso de números enteros?

    3.      ¿A qué temperatura se congela el agua y a que temperatura se derrite?

    4.      ¿En qué lugar se encuentra el cero en la recta numérica?       

5  5.      ¿Cuál es el punto de partida para la altitud cero?

    6.      ¿Qué acontecimiento marca el año cero de la era Cristiana?

    7.      ¿Qué signo usamos para las cantidades menores que cero?

    8.      ¿Qué signo usamos para representar que una cantidad es menor que otra?

      9. En un pueblo de España la temperatura actual es de -1 grado y en Somotillo es de 35 grados, diga donde hace mas frió y explique ¿por qué? ¿Qué relación tiene este ejemplo con los números enteros?

1 10.  ¿Cuando el minuendo es menor que el sustraendo cual es el signo del resultado que obtenemos en una operación?

Observa el siguiente vídeo donde se explica de manera clara que es un numero por atención para que luego realices las siguientes actividades de manera correcta.

Los números enteros incluyen tanto los números naturales que ya conocemos (0, 1, 2, 3,….), como los números negativos (-1, -2, -3…)

	Un número que no tiene parte fraccionaria. Incluye los números positivos {1, 2, 3, ...}, cero {0}, y los números negativos {-1, -2, -3, ...} Se los puede escribir así: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Ejemplos de enteros: -16, -3, 0, 1, 198

Números naturales y enteros

Números naturales

Los números naturales son simplemente 0, 1, 2, 3, 4, 5, … (y así sigue) aunque según a quien preguntes, el cero es o no un número natural, así que te pueden decir que los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5, …

¡Pero nada de fracciones!

Números de contar

Los números de contar son los números naturales, normalmente sin el cero. Porque no se puede "contar" cero. Así que son 1, 2, 3, 4, 5, … (y eso).

Enteros

Los enteros son como los naturales, pero se incluyen los números negativos ... ¡también sin fracciones!

Así que un entero puede ser negativo (-1, -2,-3, -4, -5, … ), positivo (1, 2, 3, 4, 5, … ), o cero (0)

Confuso

Más o menos todo el mundo está de acuerdo en que los números naturales no incluyen a los negativos, si no serían como los enteros. Pero hay gente que dice que el cero NO es natural, y hay otra gente que dice que sí. ¡Ya ves que no todos están de acuerdo en algo tan fácil!

Mi definición

Aunque a veces se me escapan cosas como "natural negativo", normalmente esto es lo que uso:

Números	Nombre
0, 1, 2, 3, 4, 5, …	Naturales
1, 2, 3, 4, 5, …	Números de contar
... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …	Enteros

Como nadie está en desacuerdo con la definición de entero, cuando tengas dudas di "entero", y si sólo quieres los enteros positivos di "enteros positivos". Así no te equivocas, y además pareces inteligente.

Línea de números

Escribir números en una línea de números hace fácil decir
qué números con mayores o menores.

La línea de números

Números negativos (-)	Números positivos (+)
(La línea sigue para siempre a derecha e izquierda.)

Los números a la derecha son mayores que los números a la izquierda: 8 es mayor que 5 1 es mayor que -1 Pero fíjate en que -8 es menor que -5

Un ejemplo
John debe $3, Virginia debe $5 pero Alex no debe nada, además tiene $3 en el bolsillo. Pon a esta gente en la línea de números para ver quién es más rico y quién es más pobre.

Tener dinero en el bolsillo es positivo. Pero deber dinero es negativo. Así que John tiene "-3", Virginia "-5" y Alex "+3"
Ahora es fácil ver que Virginia es más pobre que John (-5 es menor que -3) y John es más pobre que Alex (-3 es menor que 3), ¡y Alex es, cómo no, el más rico!

Opuesto de un numero:

El valor opuesto de un número entero es el mismo número pero con el signo cambiado: El opuesto de -3 es 3 El opuesto de 5 es -5           El opuesto de 4 es -4           El opuesto de -7 es 7 Observa que en cada uno de los ejemplos unicamente cambiamos los signos de los numeros para encontrar su opuesto  En el siguiente ejemplo puedes observar en la recta numerica el opuesto de seis que es el numero que esta en azul. Obseva que el opuesto de seis es -6 ya que se encuentra a igual distancia del cero pero en sentido contrario, de igual manera el opuesto de -6 es 6. Conteste tomando en cuenta lo aprendido: ¿Que es un numero entero? ¿Cual es la diferencia entre un numero entero y un numero natural? De 8 ejemplos de números enteros: De 5 ejemplos de números naturales: Dibuje la recta numérica. De el opuesto de los siguientes números: 8, -9, 6, -3, 4, -10, 11, 12, -15, -20, 25, 50, -40, -38, 17 Tomado de: http://www.aulafacil.com/Matematicas_2ESO/Curso/Lecc-2.htm                    http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/linea-numeros.html

Media aritmetica, mediana y moda para datos no agrupados.

 Profesor: Oscar Ramirez
I Unidad: Estadistica.
Contenido: Media aritmetica, mediana y moda para datos no agrupados. 


Media aritmetica y mediana.
 Calculo de la media aritmetica.

Para calcular la media aritmética, sumamos todos los datos y dividimos entre el número de datos.

 Calculo de la mediana.

Para calculara la mediana, se ordenan los datos y se encuentra el punto medio de éstos (la posición (n+1)/2). Si la media y la mediana coinciden, la distribución es simétrica. Si la media es mayor que la mediana, la distribución es asimétrica positiva; si la mediana es mayor, la distribución es asimétrica negativa.

EJEMPLO A:  Calcular la media y la mediana de los siguientes datos: 8, 11, 13, 9, 14, 15, 7.

Solución: La media = (8+11+13+9+14+15+7)/7 = 11.

Para calcular la mediana, se ordenan los datos primero: 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15. El punto medio se encuentra en la posición (7+1)/2 = 4; es decir, la cuarta posición. Por lo tanto, la mediana = 11.

Como la media = la mediana, esta distribución es simétrica.

EJEMPLO B:  Calcular la media y la mediana de los siguientes datos: 8, 5, 4, 5, 9, 3, 11, 6.

Solución: la media = (8+5+4+5+9+3+11+6)/8 = 6.375.

Para calcular la mediana, ordenamos primero: 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 11. El punto medio se encuentra en la posición (8+1)/2 = 4.5; es decir, es el promedio de las posiciones #4 y #5, o sea el promedio de 5 y 6. Por lo tanto, la mediana = 5.5.

Como la media > mediana, la distribución es asimétrica positiva.

Realice en sus cuadernos los siguientes ejercicios.

EJERCICIOS: Calcular la media, la mediana y comentar la simetría para los siguientes grupos de datos.

1) 9, 1, 18, 6, 14, 2, 4

2) 12, 14, 17, 13, 15, 8, 1, 14

3) 0, 5, 16, 14, 11, 19, 17, 17, 15

4) 12, 18, 1, 0, 1, 6, 15, 6, 13, 17

Tomado de: http://www.amschool.edu.sv/paes/e1.htm

 

 Rie un poco jajaja...

La moda.

La moda es la medida que se relaciona con la frecuencia con que se presenta el dato o los datos  con mayor incidencia, con lo que se considera la posibilidad de que exista más de una moda para un conjunto de datos. La notación mas frecuente es la siguiente: Mo y . Esta medida se puede aparecer tanto para datos cualitativos como cuantitativos.  Se dice que cuando un conjunto de datos tiene una moda la muestra es unimodal,  cuando tiene dos modas bimodal, cuando  la muestra contiene mas de un dato repetido se dice que es multimodal y un último caso es cuando ningún dato tiene una frecuencia, en dicho caso se dice que la muestra es amodal.

Ejemplos:

1.- Determinar  la moda del siguiente conjunto de datos:

a).- 1, 2, 3, 3, 4 , 5, 6, 7, 7, 3, 1, 9, 3

la moda de este conjunto de datos es igual a 3 y si considera unimodal

b).- 1, 2, 3, 4, 4, 5, 2, 1, 3, 4, 2, -3, 4, 6, 3, 3

las  modas de este conjunto de datos son 3 y 4  ya que ambas tienen la mas alta frecuencia, -por lo que la muestra  es bimodal

c).- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

La muestra no contiene ningún dato repetido por lo que se considera que la muestra es amodal.

Gráficamente eso se puede reflejar mediante el análisis de un histograma de frecuencias.

Tomado de: http://dieumsnh.qfb.umich.mx/estadistica/moda.htm

Ejercicios a resolver.
Encuentre la media aritmetica mediana y moda en los siguientes datos:
1) 54, 64, 12, 10, 9, 17
2) 14, 12, 13, 25, 12, 14, 12, 18, 12
3) 5, 4, 3, 4, 1, 5, 3, 7, 6, 3
4) 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4

ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL

De acuerdo al video presentado realiza los siguientes ejercicios, si no entiendes a alguno de ellos pregunta a tu docente.
Trabaja en silencio con tus compañeros.

Ejercicio 1:

Ejercicio 2:

 Ejercicios 3:

REGLA DE TRES COMPUESTA EJERCICIOS PARA RESOLVER

Unidad: Proporcionalidad.

Contenido:

Regla de tres compuesta, directa e inversa.

Regla de tres compuesta

La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.

Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente.

Resuelve los siguientes problemas tomando como ejemplo los problemas que ha explicado el profesor, recuerda resolver en silencio.

1. Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 córdobas  Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.

2. 5 obreros trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?

3. Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?


4. Un cuartel de 400 soldados tienen provisiones para 10 días repartiendo 3 raciones diarias a cada soldado, si se reduce el aprovisionamiento a 2 raciones diarias.Cuanto tiempo duraran las provisiones?

5. Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?

6. 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

7.  Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?